评价一个企业的偿债能力和财务风险, 不能仅静态地观察企业某一时点的资产与负债总额。资产负债率作为一个静态的考核指标, 有其一定的局限性。随着企业债务筹资和运用商业信用的数额变化, 资产负债率指标也在根据企业自身的不同基础条件发生着不同的速率变化。通过数学分析可以动态地揭示企业的财务风险变化值, 使债权人对债务人在形成债权债务关系前后的财务风险值进行对比, 以有效地控制风险, 保证资金清偿的可靠性。

下面通过建立数学模型, 具体分析资产负债率指标的各种变化情况及趋势。

一、举债使企业资产负债率值增大, 并无限趋近于1

 企业的举债行为包括:发行债券、融资租赁、运用商业信用、银行信贷等方面。本文为了论述简单, 仅以银行借款为例, 分析资产负债率的变化。资产负债率计算公式：资产负债率=负债总额 / 资产总额。由于正常情况下,负债 < 资产, 我们就在这一前提下展开分析。假定负债为a, 资产为b ( a < b ), 假设企业通过向银行举债增加资金总量为 x , 则其会计分录为:

借:银行存款 x

贷:长(短)期借款 x

这时, 资产负债率 = ( a +x ) / ( b +x )

( a + x ) / ( b + x ) -a / b= ( ab+ bx- ab- ax ) /b(b+ x)=(b- a)x

/ b(b+x)

已知 a

∴ ( b - a ) x/ b ( b +x ) >0 , 即( a +x ) / ( b +x ) -a / b>0

结论:举债一定会使企业资产负债率提高。

例如: 某企业原资产负债率为50%, 原有资产总额为100万元, 现在向银行借款 50 万元。其资产负债率变化为:

资产负债率= ( 50+50 ) / ( 100+50 ) =66.7%

资产负债率比原来增加( 66.7%-50% ) 16.7 个百分点。

 我们容易看出增加借款会使资产负债率值增大, 那么增加不同的借款额度对资产负债的影响又是怎样的呢? 这里将资产负债率表示为借款的函数: f ( x ) = ( a+ x ) / ( b+ x )。可以采用两种方法研究 f ( x )的单调性问题。

 1. 根据函数单调性的判别方法, 若 d f ( x ) / dx>0 , 则f ( x )为增函数, 反之则为减函数。

df ( x ) /dx= ( b- a ) / ( b+x ) 2 >0 , 所以 f ( x )为增函数。实际意义为: 向银行借款数额越大, 其资产负债率的增幅越大。

 例如: 甲企业原资产负债率为 60% , 原有资产总额为100 万元, 欲向银行借款 10 万元或 20 万元。求资产负债率各为多少? 哪个更大?

A 情况:借款 10 万元, 资产负债率 = ( 60+10 ) / ( 100+10 )=63.6%

资产负债率比原来增加( 63.6%-60% ) 3.6 个百分点;

B 情况:借款 20 万元, 资产负债率 = ( 60+20 ) / ( 100+20 )=66.7%

资产负债率比原来增加( 66.7%-60% ) 6.7 个百分点。

显然, 借款 20 万元后的资产负债率增幅大于借款 10万元后的资产负债率增幅。

结论:借款数额越大, 其资产负债率的增幅越大。

2. 可以用更简单的作差方法分析。

设借款金额 x 2 >x 1

（a+x2/b+x2-（a+x1b+x1）=（x2-x1）/（b+x2）X（b-a）/（b+x1）

∵ x 2 >x 1 , 且 b>a

∴（a+x2）/（b+x2）-（a+x1）/（b+x1）>0 , 函数一定为增函数。

结论: 随着借款金额增大, 资产负债率无限趋近于1

二、资产负债率不同而增加等额借款, 对资产负债率影响大小及变化趋势分析

 我们先看一个例子: A 企业资产负债率为 40% , B 企业资产负债率为 60% , 两家企业资产总额均为 100 万元,二者同时各向银行借款 10 万元。求其资产负债率变化幅度为多少? 哪个更大?

A 企业:资产负债率 = ( 40+10 ) / ( 100+10 ) =45.5%

资产负债率比原来增加( 45.5%-40% ) 5.5 个百分点。

资产负债率的变化率 = ( 45.5%-40% ) /40%=0.137 5

B 企业:资产负债率 = ( 60+10 ) / ( 100+10 ) =63.6%

资产负债率比原来增加( 63. 6%-60% ) 3.6 个百分点。

资产负债率的变化率 = ( 63. 6%-60% ) /60%=0.060 6

∴ A 的增长幅度 >B 的增长幅度。

结论: 增加等额借款, 原资产负债率较小的变化幅度

较大;原资产负债率较大的变化幅度相对较小。

这里我们进一步借助数学模型进行讨论分析。

假设 A 企业的负债为 a 1 ,B 企业的资产负债率为 a 2 , 这里假设 a 1

则 A 企业资产负债率为 a1/b, B 企业资产负债率为 a2/b，现同时增加借款 x 元, 则

A企业资产负债率的变化率为:a1+xb+x-a1ba1b=xb+x·ba1-1